通过合冲研究有理曲线上的奇点
交换代数
2012-02-09 v2
摘要
考虑代数闭域k上一条d次有理射影曲线C。存在B=k[x,y]中d次齐次形式g_1,...,g_n，它们以双有理、无基点的方式参数化C。我们通过研究行向量[g_1,...,g_n]的Hilbert-Burch矩阵φ来研究C的奇点。在“一般引理”中，我们利用φ的广义行理想来识别C上的奇异点、它们的重数、每个奇异点处的分支数以及每个分支的重数。设p是参数化平面曲线C上的一个奇异点，对应于φ的一个广义零点。在“三重引理”中，我们给出了一个矩阵φ'，其最大子式参数化了C在p处爆破的闭包（在二维射影空间中）。我们将一般引理应用于φ'，以了解C在p的第一邻域中的奇点。如果C有偶次数d=2c且C在p处的重数等于c，那么我们再次应用三重引理来了解C在p的第二邻域中的奇点。考虑偶次数d=2c的有理平面曲线C。我们根据C上或无穷接近C的重数c奇点的配置对曲线进行分类。此类奇点共有7种可能的配置。我们对每种配置对应的Hilbert-Burch矩阵进行分类。研究固定2c次有理平面曲线C上或无穷接近C的重数c奇点，等价于研究C参数化的固定平衡Hilbert-Burch矩阵φ的广义零点概形。
引用
@article{arxiv.1102.5072,
title = {A study of singularities on rational curves via syzygies},
author = {David Cox and Andrew R. Kustin and Claudia Polini and Bernd Ulrich},
journal= {arXiv preprint arXiv:1102.5072},
year = {2012}
}
备注
Typos corrected and minor changes made. To appear in the Memoirs of the AMS