Schröder 数的一个 Stern 型同余式

对于 Schröder 数 $$S_n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\binom{n+k}{k}\frac{1}{k+1},$$ 我们证明 $$S_{n+2^\alpha}\equiv S_{n}+2^{\alpha+1}\pmod{2^{\alpha+2}},$$ 其中 $n\geq 1$ 且 $\alpha\geq 1$。