利用持续同调度量动力系统中混沌的稳定指标

许多现实世界的动力学表现出混沌，即动力系统状态空间中相邻轨迹随时间呈指数发散的现象。用于量化这种发散程度的常用度量是最大 Lyapunov 指数，它依赖于各时刻轨迹间的成对欧氏距离。最大 Lyapunov 指数在实际应用中的主要局限是它对系统轨迹的微小扰动敏感。持续同调研究数据集点随时间增厚而在不同维度中出现的孔洞，在添加此类噪声时具有理论上的稳定性保证。因此，我们提出一种新颖的、基于 0 维持续同调的混沌度量，称为 0-持续指数，并证明其理论稳定性。我们证明，若系统是混沌的，则 0-持续指数非负，这通过证明正 Lyapunov 度量蕴含非负 0-持续度量来实现，并进一步讨论 0-持续度量严格为正的条件。此外，我们证明了该度量上界的存在，并在描述流体对流与拉太妃糖的 Lorenz 和 Rossler 系统上展示了其更优的实验稳定性。我们提出一种算法，给定来自动力系统的含 N 个点的单变量时间序列，可在 $O(N^2 \log N)$ 时间内计算 0-持续指数。最后，我们在描绘 Belousov-Zhabotinsky 化学反应的时间序列数据上展示了 0-持续指数更优的实验稳定性，该反应随系统演化在周期性与混沌间往返转换。我们呈现实验结果，通过 Lorenz 和 Rossler 系统上两种度量间的高相关性，验证了在充分条件下正 Lyapunov 指数蕴含正 0-持续指数。