大筛法的一种谱分解

二次型 $V(\varphi,Q)=\sum_{q\sim Q}\sum_{a\mod^* q}|S(\varphi,a/q)|^2$ 及其特征值在 $Q=o(\sqrt{N})$ 时已得到充分理解，而 $V(\varphi,Q)$ 在 $N=o(Q)$ 时预期表现为黎曼和。在 $Q\in[\sqrt{N},100 N]$ 范围内的行为仍属未知。在本工作中，我们对 $Q\ge N^{7/8}$ 的情形给出了基于一族单参数核差分算子特征值的完整谱分析。我们特别表明，（该二次型 $V(\varphi,Q)$ 的一个光滑版本）在 $Q\asymp N$ 时可能偏离 $(6/\pi^2)Q\sum_n|\varphi_n|^2$，尽管仅在一个维数为正但较小的向量空间上。本文的改进版（同名）将于 2024 或 2025 年发表于法国数学会通报。