关于与自然二次筛相关的一个对数和

我们研究求和 $\Sigma_q(U)=\sum_{\substack{d,e\leq U\\(de,q)=1}}\frac{\mu(d)\mu(e)}{[d,e]}\log\left(\frac{U}{d}\right)\log\left(\frac{U}{e}\right)$, $U>1$, 从而可以陈述 Selberg 筛法的一个连续、单调且显式的版本。得益于 Barban-Vehov (1968)、Motohashi (1974) 和 Graham (1978), 人们很早以前就知道 $\Sigma_1(U)$ 渐近于 $\log(U)$, 但从未被显式地表述过。在本文中, 我们不仅发现对于所有 $q\in\mathbb{Z}_{>0}$ 有 $\Sigma_q(U)\sim\frac{q}{\varphi(q)}\log(U)$, 而且找到了 $\Sigma_q(U)$ 二阶项的一个闭式表达式, 即常数 $\mathfrak{s}_q$, 并在 $q=v\in\{1,2\}$ 时对其进行了显式估计。因此, 对于某个显式常数 $K_v > 0$, 我们有 $\Sigma_v(U)= \frac{v}{\varphi(v)}\log(U)-\mathfrak{s}_v+O_v^*\left(\frac{K_v}{\log(U)}\right)$, 其中 $\mathfrak{s}_1=0.60731\ldots$ 且 $\mathfrak{s}_2=1.4728\ldots$。作为应用, 我们展示了我们的结果如何在一定范围内给出 Brun-Titchmarsh 定理的一个显式版本。