一种避免求解 Lyapunov 方程的简单极点配置增益矩阵 $K$

众所周知，如果 $A\in\mathbb{C}^{N\times N}$ 和 $B\in\mathbb{C}^{N\times M}$ 构成可控对（即 Kalman 矩阵 $[B\ |\ AB\ | \ \dots\ |\ A^{N-1}B]$ 满秩），则存在 $K\in\mathbb{C}^{M\times N}$ 使得矩阵 $A+BK$ 仅具有实部为负的特征值。矩阵 $K$ 不是唯一的，通常由 Lyapunov 方程的解定义，而在 $N$ 较大时，从计算角度来看这不易处理。在本工作中，我们表明，对于一般的矩阵 $A$ 和 $B$，如果它们满足可控性 Kalman 秩条件，则 $$K=-\overline{B}^\top\sum_{k=1}^N\left[(\overline{A}^\top+\gamma_kI)^{-1}\right]\left\{\sum_{k=1}^N\left[(A+\gamma_kI)^{-1}B\overline{B}^\top(\overline{A}^\top+\gamma_kI)^{-1}\right]\right\}^{-1}$$ 确保矩阵 $A+BK$ 的所有特征值的实部均小于 $-\gamma_1$。此处，$0<\gamma_1<\gamma_2<\dots<\gamma_N$ 是 $N$ 个足够大的正数，使得对于每个 $k$，$A+\gamma_kI$ 均可逆。