关于“几乎LUR(ALUR)”概念的定义

“几乎LUR(ALUR)”概念在文献[1]中被引入，其中称单位球面 $S_{X}$ 上的点 $x$ 为Banach空间 $X$ 单位球 $B_{X}$ 的几乎LUR(ALUR)点，当且仅当对任意序列 $\{x_{n}\}\subseteq B_{X}$ 和 $\{x_{m}^{\ast}\}\subseteq B_{X^{\ast}}$，条件 $\lim_{m}\lim_{n}x_{m}^{\ast}\left(\frac{x_{n}+x}{2}\right)=1$ 暗示 $\lim_{n}\left\Vert x_{n}-x\right\Vert =0$，且未对 $\lim_{m}\lim_{n}\gamma_{m,n}=\gamma$（其中 $\gamma,\gamma_{m,n}\in\mathbb{R}$）的含义作出说明。显然，对于该迭代极限，自然的定义是：对于每个足够大的 $m$，存在 $\mu_{m}:=\lim_{n\rightarrow\infty}\gamma_{m,n}\in\mathbb{R}$，且 $\gamma =\lim_{m\rightarrow\infty}\mu_{m}$。然而，正如在一些证明中出现的情形，这一解释并未得到验证。本文我们检阅了若干篇涉及几乎LUR的文献，尤其是那些引用上述“几乎LUR”点（或空间）定义的证明。此外，我们分析了与CWALUR概念相关的类似问题。我们指出了一些结果证明中的若干缺口。最后，我们提出将 $\lim_{m}\lim_{n}$ 替换为 $\lim_{m}\liminf_{n}$ 以适应几种类型的ALUR点的定义；我们还提供了两项文献中使用 $\lim_{m}\lim_{n}$ 的结果完整证明，这些证明使用 $\lim_{m}\liminf_{n}$ 代替。