Lyapunov序的Hill-Pick矩阵判据

Lyapunov序出现在针对具有一般(实)矩阵点的正实奇函数的Nevanlinna-Pick插值研究中。对于实或复矩阵$A$和$B$,若\begin{equation*} H=H^*,\quad HA+A^*H \geq 0 \quad \implies \quad HB+B^*H \geq 0. \end{equation*}(若$A$和$B$为实矩阵,我们通常限制为实Hermitian矩阵$H$,即对称$H$。)则称$B$ Lyapunov支配$A$。因此,若$A$的所有Lyapunov解也是$B$的Lyapunov解,则$B$ Lyapunov支配$A$。在本章中,我们限制于Nevanlinna-Pick插值研究中出现的情形,即$B$在$A$的双交换子中且$A$是Lyapunov正则的,意味着$A$的特征值$\lambda_j$满足$$\lambda_i + \overline{\lambda}_j \ne 0, \quad i,j=1,\ldots,n.$$在此情形下,我们给出$B$对$A$的Lyapunov支配的矩阵判据。该结果依赖于一类正性与完全正性重合的$*$-线性映射以及可追溯到R.D. Hill工作的$*$-线性矩阵映射的表示。该矩阵判据要求某个我们称之为Hill-Pick矩阵的矩阵为半正定。