临界 IPDSAW 标度极限的形状定理

本文给出了 Zwanzig 和 Lauritzen (1968) 引入的临界相互作用部分定向自回避行走 (IPDSAW) 标度极限的完整刻画。当系统尺寸 $L$ 发散时，我们证明被占据格点的集合，在水平方向以 $L^{2/3}$、垂直方向以 $L^{1/3}$ 重标度后，依分布收敛于一个非平凡的随机集，收敛意义为 Hausdorff 距离。该极限集由一个条件布朗运动 $B$ 构建，条件为在 $a_1$ 时刻返回原点，其中 $a_1$ 是其几何面积达到 $1$ 的时刻。$B$ 在 $a_1$ 之前的模给出了极限集的高度，而其质心过程是一个独立的布朗运动。获得该形状定理需要推导一个随机游走偏移的泛函中心极限定理，该随机游走具有 Laplace 对称增量，并以扫过指定几何面积为条件。这一结果在一篇姊妹论文 arXiv:1709.06448 中得到证明。