关于具有 (3,1) 型极值收缩的 Fano 4-折叠的一个注记

设 $X$ 为沿光滑曲线 $C$ 对光滑射影 4-折叠 $Y$ 进行爆破所得的流形，$E$ 为例外除子。假设 $X$ 是一个 Fano 流形，并具有一个 (3,1) 型的基本极值收缩 $\phi: X \to Z$，使得 $E$ 是 $\phi$- ample 的（回顾一下，4-折叠的收缩映射若其例外 locus 为除子且其像为曲线，则称为 (3,1) 型）。我们证明，如果 $\phi$ 的例外除子是光滑的，那么 $Y$ 同构于 $\mathbb{P}^{4}$，且 $C$ 是一条 4 次椭圆曲线。