扩展 Selberg 类中 Newman 猜想的一个证明

Newman 猜想（由 Rodgers 和 Tao 于 2018 年证明）涉及 Riemann xi 函数的一族形变 $\{\xi_t(s)\}_{t \in \mathbb{R}}$，其存在一个相关的常数 $\Lambda \in \mathbb{R}$（称为 de Bruijn-Newman 常数），使得 $\xi_t$ 的所有零点位于临界线上当且仅当 $t \geq \Lambda$。Riemann 假设等价于 $\Lambda \leq 0$ 的论断，而 Newman 猜想陈述 $\Lambda \geq 0$。在本文中，我们给出 Newman 猜想的一个新证明，避免了 Rodgers 和 Tao 证明中的诸多复杂性。与先前限定 $\Lambda$ 的最佳方法不同，我们的方法不需要关于 zeta 函数零点的任何信息，并且可轻易应用于多种 $L$-函数。特别地，我们确立扩展 Selberg 类中的任意 $L$-函数都有一个相关的 de Bruijn-Newman 常数，且所有这些常数均为非负。以 Riemann xi 函数情形表述，我们的论证通过证明对每个 $t < 0$，函数 $\xi_t$ 可用 Dirichlet 级数 $\zeta_t(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\exp(\frac{t}{4} \log^2 n)n^{-s}$ 逼近，该级数的零点进而给出 $\xi_t$ 在临界线外的无穷多个零点。