利用 Bombieri 等价定理证明黎曼假设

黎曼假设指出，在复平面条带区域 $0 < {\rm Re}(s) < 1$ 内，黎曼 $\xi(s)$ 函数的零点仅位于临界线 ${\rm Re}(s) = \frac{1}{2}$ 上，而在其他位置没有零点。为了证明黎曼假设，我们需要识别哪些点 $s$ 使得复函数 $\xi(s) = 0$，这显然是一项具有挑战性的任务。Bombieri 在千禧年大奖难题的官方描述中提出了一个命题，即“黎曼假设等价于如下陈述：所有 $\xi(t)$（在临界线上）的局部极大值均为正，且所有局部极小值均为负”。这为证明黎曼假设提供了一个方向。本文遵循 Bombieri 的方法研究黎曼假设。首先，我们证明临界线上的函数 $\xi(s)$（此时它是单个实变量的实函数）满足一个特殊的微分方程。这保证了它满足 Bombieri 的等价条件。接着，由于我们未能找到 Bombieri 等价定理的原始证明，我们为该定理的充分性部分提供了一个独立的证明。我们发现，若临界线上的函数 $\xi(s)$ 满足 Bombieri 的等价条件，则通过对 $\xi(s)$ 应用 Cauchy-Riemann 方程，可以证明它在临界线之外没有零点。因此，我们可以断定黎曼假设成立。为了进一步验证我们的发现，我们讨论了 Pólya 的反例，该反例对理解本文的研究方法和结果具有误导性。然而，我们证明该反例既不使 Bombieri 等价定理失效，也不使本文提出的判断失效，且不影响我们的证明。