解析数论与统计物理中 de Bruijn-Newman 型常数

1859 年对黎曼假设（RH）的一种表述为：当 $f(t)$ 为特定函数 $\Phi (t)$ 时，$f$ 的傅里叶变换 $H_f(z)$（对于 $z \in \mathbb{C}$）仅有实零点。P\'{o}lya 在 1920 年代对 RH 的方法将 $H_f$ 推广为 $H_{f,\lambda}$，即 $e^{\lambda t^2} f(t)$ 的傅里叶变换。我们回顾了这一 RH 方法及其在统计物理中相关方法的发展，在统计物理中 $f(t)$ 被测度 $d \rho (t)$ 替代。P\'{o}lya 的工作连同 de Bruijn 和 Newman 分别在 1950 年和 1976 年的结果，蕴含了有限常数 $\Lambda_{DN} = \Lambda_{DN} (\Phi) \in (-\infty, 1/2]$ 的存在性，使得 $H_{\Phi,\lambda}$ 仅有实零点当且仅当 $\lambda \geq \Lambda_{DN}$；RH 由此等价于 $\Lambda_{DN} \leq 0$。近期的发展包括 Rodgers 和 Tao 对 1976 年猜想 $\Lambda_{DN} \geq 0$（即 RH 若为真，也仅仅是勉强成立）的证明，以及 Polymath 15 项目将 $1/2$ 的上界改进至约 $0.22$。我们还展示了具有不同 $H_{\rho,\lambda}$ 和 $\Lambda_{DN} (\rho)$ 行为的 $\rho$ 的例子；其中一些是新的，并基于作者近期的一个弱收敛定理。