Stroock-Williams 方程的概率解

我们考虑 Stroock 和 Williams [Comm. Pure Appl. Math. 58 (2005) 1116-1148] 提出的初边值问题 \begin{eqnarray*}u_t=\mu u_x+\tfrac{1}{2}u_{xx}\qquad (t>0,x\ge0),\\u(0,x)=f(x)\qquad (x\ge0),\\u_t(t,0)=\nu u_x(t,0)\qquad (t>0)\end{eqnarray*}，其中 $\mu,\nu\in \mathbb{R}$，且当 $\nu<0$ 时边界条件不属于 Feller 类型。我们表明，当 $f$ 属于 $C_b^1$ 且 $f(\infty)=0$ 时，以下解的概率表示是有效的：$$u(t,x)=\mathsf{E}_x\bigl[f(X_t)\bigr]-\mathsf{E}_x\biggl[f'(X_t)\int_0^{\ell_t^0(X)}e^{-2(\nu-\mu)s}\,ds\biggr],$$ 其中 $X$ 是具有漂移 $\mu$ 的反射布朗运动，$\ell^0(X)$ 是 $X$ 在 0 处的局部时。该解可以根据 $X$ 及其在 0 处以与 $\ell^0(X)$ 成正比的速率生成来解释。调用 $(X_t,\ell_t^0(X))$ 的分布律，这也导出了用 $\mu$、$\nu$ 和 $f$ 表示的 $u$ 的闭式积分公式。