关于二项分布的一个注记：受Chv\'{a}tal定理与Tomasewski定理的启发

设$B(n,p)$为参数为$n$和$p$的二项随机变量。Chv\'{a}tal定理指出，对任意固定的$n\geq 2$，当$m$遍历$\{0,1,\ldots,n\}$时，概率$q_m:=P(B(n,m/n)\leq m)$最小时，$m$最接近$2n/3$。设$\mathcal{R}$为随机变量族，其形式为$X=\sum^n_{k=1}a_k\varepsilon_k$，其中$n\ge 1$，$a_k, k=1, \dots, n,$为实数且满足$\sum^n_{k=1} a_k^2=1$，$\varepsilon_k, k=1, 2, \dots,$为独立的Rademacher随机变量（即$P(\varepsilon_k=1)=P(\varepsilon_k=-1)=1/2$）。Tomaszewski定理指出$\inf_{X\in \mathcal{R}}P(|X|\leq 1)=1/2$。受Chv\'{a}tal定理和Tomaszewski定理的启发，本文研究当$k$遍历$\{0,1,\ldots,n\}$时，对任意固定的$n\geq 1$，概率$f_n(k):=P(|B(n,k/n)-k|\leq \sqrt{{\rm Var} (B(n,k/n))})$的最小值。我们证明该最小值当$k=1$且$n-1$时取得。