关于非局部近场动力学算子在 $L^q$-范数中显式收敛速率的注记

本注记研究了非局部近场动力学（peridynamic）算子在其经典（局部）对应物在 $L^q$-范数中的显式收敛速率。先前的结果使用了傅里叶级数，因此仅限于展示 $L^2$ 中的收敛性。此外，由于使用了勒贝格控制收敛定理，收敛速率并不显式。一些先前的结果也使用了微分形式的泰勒余项定理，但这通常需要假设有界的五阶导数。我们不使用这些工具，而是使用 Hardy-Littlewood 极大函数，并将其与积分形式的泰勒余项定理相结合。这种方法使我们能够为非局部近场动力学偏导数建立 $L^q$-范数（$1 \leq q \leq \infty$）中的收敛性，这立即得出了相应的非局部近场动力学散度、梯度和旋度算子在其局部对应物当非局部相互作用半径（即“视界”）$\delta \to 0$ 时的收敛速率。此外，我们获得了 $\mathcal{O}(\delta^2)$ 阶的显式速率。这一结果有助于理解非局部模型与局部模型之间的关系，这对于多尺度建模和模拟中的应用至关重要。