关于 Laplace--Beltrami 特征函数公共零点的注记

设 $\De u+\la u=\De v+\la v=0$，其中 $\De$ 是紧连通光滑流形 $M$ 上的 Laplace--Beltrami 算子且 $\la>0$。若 $H^1(M)=0$，则存在 $p\in M$ 使得 $u(p)=v(p)=0$。对于齐性 $M$，若 $H^1(M)\neq0$ 则蕴涵存在如上的一对 $u,v$ 无公共零点。