关于具有非对称相互作用的Vlasov-Fokker-Planck方程的一点注记

在最近的文献[3]中，Cesbron与Herda研究了一类具有非对称相互作用的Vlasov-Fokker-Planck（VFP）方程，该方程在物理学中用于建模同步粒子加速器中电子的分布。我们针对他们的工作提出四点注记：第一，文献[3]中指出，经典地用于（对称）VFP方程的自由能并非非对称情形下的李雅普诺夫函数，而我们将证明，对于自由能的适当定义（一般无显式表达），这仍成立。第二，当相互作用足够小（在$W^{1,\infty}$意义下）时，文献[3]证明了方程存在唯一的平稳解且局部吸引；在此精神下，我们将看到，当相互作用力为利普希茨且常数足够小时，收敛是全局的。第三，我们也简要讨论了对应于该VFP方程的平均场相互作用粒子系统，有趣的是，这是一个非平衡朗之万过程。最后，我们将看到，在小相互作用 regime下，一个适当的（显式）非线性Fisher信息以恒定速率收缩，类似于凸泛函的Wasserstein梯度流情形（尽管此处动力学并非梯度流）。