寻找众多物理算符广义谱界的新途径

在此我们获得了一类算符谱的界，该算符的逆（当其存在时）给出格林函数。我们考虑可化为如下形式的广泛物理问题：在某个区域 $\Omega$ 内对所有 ${\bf x}$ 成立本构方程 ${\bf J}({\bf x})={\bf L}({\bf x}){\bf E}({\bf x})-{\bf h}({\bf x})$，并带有源项 ${\bf h}({\bf x})$，其关联了满足适当微分约束的场 ${\bf E}$ 和 ${\bf J}$，记为 ${\bf E}\in\cal{E}_\Omega$ 和 ${\bf J}\in\cal{J}_\Omega$，其中 $\cal{E}_\Omega$ 与 $\cal{J}_\Omega$ 是正交空间，张成了 ${\bf h}$ 所在的 square-integrable 场空间 $\cal{H}_\Omega$。模 ${\bf L}({\bf x})$ 的有界性与强制性条件保证了对于任意给定的 ${\bf h}$ 存在唯一的 ${\bf E}$，即 ${\bf E}={\bf G}_\Omega{\bf h}$，从而确立了格林函数 ${\bf G}_\Omega$ 的存在性。我们证明，若满足涉及广义拟凸函数的更弱条件，则强制性条件必然成立。其优势在于这些更弱条件更易验证，且对多相材料可独立于相的几何结构。对于线性依赖于参数向量 ${\bf z}=(z_1, z_2,\ldots, z_n)$ 的 ${\bf L}({\bf x} )$，我们得到了保证格林函数存在的 ${\bf z}$ 的约束，从而给出谱的界。