线性偏微分方程中格林函数的精确关系与边界场等式：守恒律的推广

许多物理问题具有 $J(x)=L(x)E(x)+h(x)$，源项 $h(x)$，场 $E$、$J$ 满足微分约束，记为 $E\in\cal E$、$J\in\cal J$，其中 $\cal E$、$\cal J$ 为正交空间。若 $L(x)$ 取值于某些非线性流形 $\cal M$，且具备强制性、有界性，则格林函数满足精确恒等式。我们还联系了不同问题的格林函数。该分析基于复合材料的精确关系理论，不假设 $L(x)$ 的微观尺度变化，并允许其他方程，例如有耗介质中的波动方程。对于 $L(x)\in{\cal M}$ 的物体 $\Omega$，Dirichlet-to-Neumann 映射满足边界场等式。这些推广了守恒律的概念：$\Omega$ 内场的约束给出了边界场所满足的恒等式，并提供了对内部场的额外约束。由此得到：若矩阵值场 $Q(x)$ 满足 $\nabla\cdot Q=0$ 且取值于集合 $\cal B$（与 $x$ 无关），该集合位于某非线性流形上，则我们给出流形与 $\cal B$ 上的条件，并在边界通量 $q(x)=n(x)\cdot Q(x)$（其中 $n(x)$ 为 $\partial\Omega$ 的外法向）满足适当条件时，迫使 $\Omega$ 内的 $Q(x)$ 取值于子空间 $\cal D$。这迫使 $q(x)$ 取值于 $n(x)\cdot\cal D$。我们发现 $\Omega$ 内存在额外的无散度场，进而生成额外的边界场等式。存在部分零拉格朗日量，即向量势 $w$ 及其梯度的泛函 $F(w,\nabla w)$，当 $x\in\Omega$ 时 $\nabla w$ 被约束取值于适当非线性流形的某些集合 $\cal A$ 中，且 $w$ 满足适当边界条件时，它们充当零拉格朗日量。我们还概述了对某些非线性极小化问题的推广。