Harish-Chandra 积分公式的一个新证明

我们给出 Harish-Chandra 公式的一个新证明 $$\Pi(h_1) \Pi(h_2) \int_G e^{\langle \mathrm{Ad}_g h_1, h_2 \rangle} dg = \frac{ [ \! [ \Pi, \Pi ] \!] }{|W|} \sum_{w \in W} \epsilon(w) e^{\langle w(h_1),h_2 \rangle},$$ 其中 $G$ 是紧连通半单李群，$dg$ 是归一化 Haar 测度，$h_1$ 和 $h_2$ 位于复化李代数的 Cartan 子代数中，$\Pi$ 是判别式，$\langle \cdot, \cdot \rangle$ 是 Killing 型，$[ \! [ \cdot, \cdot ] \!]$ 是将 Killing 型扩展到多项式的内积，$W$ 是 Weyl 群，$\epsilon(w)$ 是 $w \in W$ 的符号。本文的证明源于半单李代数上热流与 Cartan 子代数上热流之间的关系，推广了 Itzykson 和 Zuber 针对酉群 $U(N)$ 上积分所发展之方法。该热流证明允许对广泛群上轨道积分的渐近性进行系统性研究。