Harish-Chandra类群上Schwartz代数的Fourier变换

众所周知，Harish-Chandra变换$f\mapsto\mathcal{H}f$是球面（Schwartz）卷积代数$\mathcal{C}^{p}(G//K)$（其中$K$是任意选取的Harish-Chandra类群$G$的一个极大紧子群，且$0<p\leq2$）到（Schwartz）乘法代数$\bar{\mathcal{Z}}({\mathfrak{F}}^{\epsilon})$（由$\mathcal{Z}({\mathfrak{F}}^{\epsilon})$的$\mathfrak{w}-$不变元组成，其中$\epsilon=(2/p)-1$）的拓扑同构。然而，对于完整的Schwartz卷积代数$\mathcal{C}^{p}(G)$，除了少数具体的群例子（特别是$G=SL(2,\mathbb{R})$）和一些特定的$p$值（对$G$和/或$\mathcal{C}^{p}(G)$有限制）外，不能这样说。尽管如此，$G$上完整的Harish-Chandra Plancherel公式对于整个$\mathcal{C}^{2}(G)=:\mathcal{C}(G)$是已知的。为了更清晰地理解Harish-Chandra变换的结构，并计算$\mathcal{C}^{p}(G)$在其下的像（无任何限制），我们通过应用$G$上的完整Plancherel公式，为Harish-Chandra变换导出了一个绝对收敛的级数展开（用已知函数表示）。这导致了对$\mathcal{C}(G)$在Harish-Chandra变换下的像的计算，该计算可视为Arthur结果的一个具体实现，并可轻易地推广到整个$\mathcal{C}^{p}(G)$，其方式与Trombi和Varadarajan的工作中所知的大致相同。