关于 Hecke 代数的完备化

设 $G$ 为约化 $p$-进群，$H(G)^s$ 为 $G$ 的 Hecke 代数的一个 Bernstein 块。我们考虑 $H(G)^s$ 的两个重要拓扑完备化：$G$ 的 Harish-Chandra--Schwartz 代数的一个直和项 $S(G)^s$，以及 $G$ 的约化 C*-代数的一个双边理想 $C^*_r (G)^s$。这些对于研究所有缓增光滑 $G$-表示非常有用。我们假设 $H(G)^s$ Morita 等价于一个仿射 Hecke 代数 $H(R,q)$——这在许多情形中已知成立。后一代数同样具有 Schwartz 完备化 $S(R,q)$ 和 C*-完备化 $C^*_r (R,q)$，二者均由底层根数据 $R$ 和参数 $q$ 定义。我们证明，在温和条件下，$H(G)^s$ 与 $H(R,q)$ 之间的 Morita 等价可推广为 $S(G)^s$ 与 $S(R,q)$ 之间，以及 $C^*_r (G)^s$ 与 $C^*_r (R,q)$ 之间的 Morita 等价。我们还验证了在 Hecke 代数之间此类 Morita 等价的所有已知情形中，我们的条件均得到满足。这一结果被应用于计算经典 $p$-进群的约化 C*-代数的拓扑 K-理论。