$p$-进群 Hecke 代数的有限性

设 $G$ 为剩余特征为 $p$ 的非阿基米德局部域 $F$ 上的约化群。我们证明，当 $\ell$ 不等于 $p$ 时，系数取自 ${\mathbb Z}_{\ell}$-代数 $R$ 的 $G(F)$ 的 Hecke 代数是其中心上的有限生成模，且这些中心是有限生成 $R$-代数。遵循 Bernstein 的原始策略，我们推导出“第二伴随性”对系数取自 $p$ 可逆的任意环 $R$ 的 $G(F)$ 的光滑表示成立。这些结果已被猜想很长时间。解锁该问题的关键新工具是定义在 Langlands 参数侧的特定“游览代数”与 $G(F)$ 的 Bernstein 中心之间的 Fargues-Scholze 态射。利用这一桥梁，我们的主要结果是局部 Langlands 参数的粗模空间之间某些态射有限性的表示论对应物，我们在此也证明了这一点，这可能具有独立意义。