超刚性、Weyl 群与圆周上的作用

我们提出一种研究超刚现象的新方法,并将其应用于以圆周同胚为目标群的格表示与可测上循环。我们的动机来自 Ghys 的定理:半单实李群 $G$ 的高秩不可约格 $\Gamma$ 到 $\Homeo_+(S^1)$ 的任意表示 $\ro:\Gamma\to\Homeo_+(S^1)$,要么有有限轨道,要么在半共轭意义下延拓到 $G$,而 $G$ 通过满同态 $G\to\PSL_{2}(\RR)$ 作用。我们的方法基于抽象边界理论的研究,具体而言基于广义 Weyl 群的概念,它可以:(A) 对 $n\ge 2$ 个一般局部紧群的乘积 $G=G_{1}\times... G_{n}$ 中的不可约格证明类似的超刚性结果,(B) 给出 Ghys 定理的一个新的(更短的)证明,(C) 建立一般局部紧群的 commensurator 超刚性,(D) 证明关于 $\tilde{A}_{2}$ 群的首批超刚性定理。该方法推广到可测圆周丛的情形;在此背景下我们证明了 (A)、(B) 和 (D) 的上循环版本。这是通过广义 Weyl 群研究超刚性的一个更宏大项目的第一部分。