离散序列的几何方法论探析

Harish-Chandra通过描述其字符作为具有显式公式的温和分布来分类实半简单Lie群的离散序列表示，其描述在椭圆集合上。他的方法灵感来自Weyl对紧致Lie群不可约表示字符公式的证明。Hecht、Mili\v{c}i\'{c}、Schmid和Wolf给出了另一种构造方法，利用Beilinson和Bernstein的局化理论：离散序列是标准Harish-Chandra sheaf在标记 variety上全局截面的构型，这些sheaf依附于复化最大紧致子群的闭轨道。他们的方法灵感来自Borel-Weil定理。在本文中，我们在这些参数化之间给出一个显式对应关系。首先，对于任意Borel子代数上的 nilpotent radical $\mathfrak{n}$，我们以其在标记 variety上的局化形式，给出其在complex半simpleLie代数 $\mathfrak{g}$的普遍包络代数模块上的$\mathfrak{n}$-同调的几何公式。然后我们将该公式应用于离散序列。首先，我们给出Schmid结果的几何证明，描述$\mathfrak{n}$-同调离散序列表示，其nilpotent radical $\mathfrak{n}$依附于包含最大扭 torus Lie代数的Borel子代数。利用Osborne公式，这给出椭圆集合上的字符公式，并导致Harish-Chandra的离散序列表示参数与几何参数相匹配。这为离散序列的研究提供了另一种方法。作为一个例子，我们从最大紧致子群的Borel-Weil-Bott定理推导出Blattner关于离散序列K类型乘数的猜想。