Harish-Chandra 特征的可积性与奇异性

设 $G$ 是特征为 $0$ 的局部域 $F$ 上的约化群。根据 Harish-Chandra 的正则性定理,不可约可容许表示 $\pi$ 的特征 $\Theta_{\pi}$ 由 $G$ 上的一个局部可积函数 $\theta_{\pi}$ 给出。一个自然的问题是 $\theta_{\pi}$ 是否具有更好的可积性,即它是否对某个 $\epsilon>0$ 是局部 $L^{1+\epsilon}$-可积的。事实证明答案是肯定的,这引出了表示的一个新的奇异性不变量 $\epsilon_{\star}(\pi):=\sup\left\{ \epsilon:\theta_{\pi}\in L_{Loc}^{1+\epsilon}(G)\right\}$,本文将对其进行研究。我们给出了 $\epsilon_{\star}(\pi)$ 的一个仅依赖于 $G$ 的绝对根系的下界,并在 $p$-adic $\mathrm{GL}_{n}$ 的情形下显式确定了 $\epsilon_{\star}(\pi)$。这是通过研究稳定 Richardson 幂零轨道积分 $\xi_{\mathcal{O}}$ 的 Fourier 变换 $\widehat{\xi}_{\mathcal{O}}$ 的可积性来完成的。我们将 $\epsilon_{\star}(\widehat{\xi}_{\mathcal{O}})$ 表示为一个合适的相对 Weyl 判别式的对数正则阈值,并使用来自超平面排列理论的奇点解消算法,将其按与轨道相关的分拆进行计算。我们得到了若干应用:首先,在 $p$-adic 情形下,我们给出了 $G$ 的不可约表示中 $K$-类型重数的界,其中 $K$ 是一个开紧子群。我们还进一步得到了出现在空间 $L^{2}(K/L)$ 中的不可约表示重数的界,其中 $K$ 是紧致单 Lie 群,$L\leq K$ 是一个 Levi 子群。最后,我们在随机矩阵理论中发现了令人惊讶的应用,即应用于随机酉矩阵的幂的特征值分布研究。