保守 Kac $N$ 粒子系统（麦克斯韦分子）的 $N$-均匀定量 Tanaka 定理

本文考虑具有麦克斯韦分子和任意角分布的空间均匀 Boltzmann 方程。遵循 Kac 的研究计划，重点放在相关的保守 Kac 随机 $N$ 粒子系统上，这是一个具有二元碰撞且守恒能量和总动量的 Markov 过程。利用同时碰撞以及碰撞方向球面上每个二元随机碰撞的平行耦合，构造了一个显式的 Markov 耦合（该过程两个副本的概率 Markov 耦合）。两个耦合系统之间的欧几里得距离几乎必然随时间递减，并且显式计算了相关的二次耦合创生（平均平方耦合距离的时间变化）。随后，证明了一族（由 $\delta > 0$ 索引的）$N$-均匀“弱”耦合/耦合创生不等式，从而导出了阶数为 ${\sim}_{ t \to + \infty} t^{-\delta}$ 的 $N$-均匀幂律趋向平衡，其常数取决于严格大于 $2(1 + \delta)$ 的速度分布矩。明确处理了 4 阶矩的情形，从而在无需任何混沌传播分析的情况下完成了 Kac 的研究计划。最后，提出了两个反例，表明该方法：(i) 需要依赖于 $>2$ 阶矩，以及 (ii) 在任何情况下都无法提供二次 Wasserstein 距离下的压缩性。