带形区域上非定常 Stokes 方程的极大正则性估计

在 $d\geq 2$ 的 $d$ 维带形区域中，我们研究在下板和上板满足无滑移边界条件、在水平方向满足周期边界条件的非定常 Stokes 方程。本文在实插值范数下建立了一个新的极大正则性估计：\begin{equation*} ||f||_{(0,1)}=\inf_{f=f_0+f_1}\left\{\left\langle\sup_{0<z<1} |f_0|\right\rangle+ \left\langle\int_0^{1} |f_1| \frac{dz}{(1-z)z}\right\rangle\right\}\,, \end{equation*} 其中括号 $\langle\cdot\rangle$ 表示水平空间和时间平均。$\|\cdot\|_{(0,1)}$ 定义中涉及的范数是临界的，原因有二：其指数对 Calderón-Zygmund 理论是临界的，且权重 $1/z$ 恰好不满足 Muckenhoupt 条件。因此，该估计仅在水平带状条件下（即在 Fourier 空间中限制波数包）才成立。以这种范数表达极大正则性的动机来源于其在 Rayleigh-Bénard 问题中的应用。