基于分数导数的肿瘤生长数学模型

在本研究中，我们探讨了一个基于分数阶导数的肿瘤生长模型，旨在捕捉肿瘤演化中固有的时间记忆效应和非局部时序动力学。该模型采用卡普塔-分数导数（Caputo fractional derivatives）并纳入与肿瘤生长、血管相互作用和细胞清除相关的关键生物学机制。为数值求解结果中的分数微分方程，推导了一个基于截断分数 Taylor 展开的二阶分数 Runge-Kutta 方案，提供了一个准确且稳定的数值计算框架。该模型使用来自五名患者的实验肿瘤体积数据进行校准，其性能通过数值模拟与实验观察之间的均方根偏差（RMSD）进行评估。结果表明，对于所有考虑的患者，分数阶模型在与实验数据一致性方面显著优于经典整数阶表述。在每种情况下均识别出最优分数阶 $\alpha < 1$，凸显记忆效应在肿瘤生长动力学中的重要性以及其患者特异性。通过相空间和投影分析，揭示了整数阶与分数阶动力学之间存在显著的几何差异。尽管当前研究基于有限数量的患者数据集，但结果表明，分数阶建模作为一种灵活且强大的框架，具有描述个体化肿瘤生长行为的潜力。该方法为未来包括更大数据集、不确定性量化以及整合治疗效应和控制策略的扩展提供了坚实基础。