高维球面上分数阶GJMS方程的刘维尔型结果

设 $n$ 为整数，$s$ 为实数且满足 $n > 2s \geq 2$。受 F. Hang 和 P. Yang（\textit{Int. Math. Res. Not. IMRN}，2020）开创的扰动方法启发，我们关注 $\mathbf S^n$ 上如下高阶分数阶方程的非负光滑解 $v$：$${\mathbf P}_n^{2s}(v) = Q_n^{2s}(\varepsilon v+v^\alpha)$$ 其中 $0<\alpha \leq (n+2s)/(n-2s)$，且 $\varepsilon \geq 0$。这里 ${\mathbf P}_n^{2s}$ 是 $\mathbf S^n$ 上阶数为 $2s$ 的分数阶GJMS型算子，$Q_n^{2s} ={\mathbf P}_n^{2s}(1)$ 为常数。我们证明若 $\varepsilon >0$ 且 $0<\alpha \leq (n+2s)/(n-2s)$，则上述方程的任意正光滑解 $v$ 必为常数。若 $\varepsilon=0$ 但 $0<\alpha < (n+2s)/(n-2s)$，同样结论仍成立。作为推论，对 $0<\alpha\leq (n+2s)/(n-2s)$，我们计算了 $\mathbf S^n$ 上GJMS算子 ${\mathbf P}_n^{2s}$ 及所有非负函数 $v\in H^s(\mathbf S^n)$ 的次临界/临界Sobolev不等式的尖锐常数：$$\int_{\mathbf S^n} v {\mathbf P}_n^{2s} (v) d\mu_{g_{\mathbf S^n}} \geq \frac{\Gamma (n/2 + s)}{\Gamma (n/2 - s )} | \mathbf S^n|^\frac{\alpha-1}{\alpha+1} \Big( \int_{\mathbf S^n} v^{\alpha+1} d\mu_{g_{\mathbf S^n}} \Big)^\frac{2}{\alpha+1}.$$