关于稳态三维纳维-斯托克斯方程中刘维尔型问题的注记

我们研究 $\Bbb R^3$ 上稳态三维纳维-斯托克斯方程的刘维尔型问题。具体而言，我们证明如果 $v$ 是 (NS) 的光滑解，满足对某个 $\frac32 \leq q< 3$ 有 $\omega={\rm curl}\,v \in L^q (\Bbb R^3)$，且 $|v(x)|\to 0$ 当 $|x|\to +\infty$，则要么 $v=0$ 于 $\Bbb R^3$，要么 $\int_{\Bbb R^6} \Phi_+ dxdy=\int_{\Bbb R^6} \Phi_- dxdy=+\infty$，其中 $\Phi(x,y) :=\frac{1}{4\pi}\frac{\omega (x)\cdot(x-y)\times (v(y)\times \omega(y) )}{|x-y|^3}$，且 $\Phi_\pm:=\max\{ 0, \pm \Phi\}$。证明关键地使用了方程非线性项的结构。