关于定常 MHD 与 Hall-MHD 系统的 Liouville 型定理

本文中我们证明了 $\Bbb R^3$ 中定常磁流体动力学（MHD）系统的 Liouville 型定理。设 $(v, B, p)$ 为 $\Bbb R^3$ 中定常 MHD 方程的光滑解。我们证明若存在光滑矩阵值势函数 ${\bf \Phi}$, ${\bf \Psi}$ 使得 $\nabla \cdot {\bf \Phi} =v$ 且 $\nabla \cdot {\bf \Psi}= B$，其 $L^6$ 平均振荡在无穷远处具有某种增长条件，即 $$-\!\!\!\!\!\int_{B(r)} |\mathbf{\Phi} - \mathbf{\Phi}_{ B(r)} |^6 dx + -\!\!\!\!\int_{B(r)} |\mathbf{\Psi}- \mathbf{\Psi}_{ B(r)} |^6 dx\le C r\quad \forall 1< r< +\infty,$$ 则 $v=B= 0$ 且 $p=$常数。在附加假设 $$r^{-8}\int_{B(r)}|B-B_{B(r)}|^6dx\to 0\quad \mathrm{as}\quad r\to+\infty,$$ 下，对 Hall-MHD 系统也成立类似结果。