Fredholm 行列式的 Jost-Pais 型约化及其若干应用

我们研究了 $\cH$ 中半可分离积分核的类比，其形式为 {equation*} K(x,x')={cases} F_1(x)G_1(x'), & a<x'< x< b, \\ F_2(x)G_2(x'), & a<x<x'<b, {cases} {equation*} 其中 $-\infty\leq a<b\leq \infty$，且对于几乎处处 $x \in (a,b)$，$F_j (x) \in \cB_2(\cH_j,\cH)$ 且 $G_j(x) \in \cB_2(\cH,\cH_j)$，使得 $F_j(\cdot)$ 和 $G_j(\cdot)$ 是一致可测的，并且 {equation*} \|F_j(\cdot)\|_{\cB_2(\cH_j,\cH)} \in L^2((a,b)), \; \|G_j (\cdot)\|_{\cB_2(\cH,\cH_j)} \in L^2((a,b)), \quad j=1,2, {equation*} 其中 $\cH$ 和 $\cH_j$ ($j=1,2$) 为复可分希尔伯特空间。假设 $K(\cdot, \cdot)$ 在 $L^2((a,b);\cH)$ 中生成一个迹类算子 $\bsK$，我们推导了 Jost-Pais 约化理论的类比，成功证明了 Fredholm 行列式 ${\det}_{L^2((a,b);\cH)}(\bsI - \alpha \bsK)$ ($\alpha \in \bbC$) 自然地约化为希尔伯特空间 $\cH$（及 $\cH_1 \oplus \cH_2$）中适当的 Fredholm 行列式。我们将此约化理论明确应用于具有合适有界算子值势的 Schr\"odinger 算子。此外，我们提供了一种替代方法来处理 Pushnitski 首先建立的基本迹公式，从而导出了特定模型算子的 Fredholm 指数计算。