无限维半可分算子的（修正）Fredholm 行列式的 Jost-Pais 型约化

我们研究了 $\mathcal{H}$ 中半可分积分核的类比，其形式为 $$K(x,x')=\begin{cases} F_1(x)G_1(x'), & a<x'< x< b, \ F_2(x)G_2(x'), & a<x<x'<b, \end{cases}$$ 其中 $-\infty\leq a<b\leq \infty$，且对于几乎处处 $x \in (a,b)$，$F_j (x) \in \mathcal{B}_2(\mathcal{H}_j,\mathcal{H})$ 和 $G_j(x) \in \mathcal{B}_2(\mathcal{H},\mathcal{H}_j)$，使得 $F_j(\cdot)$ 和 $G_j(\cdot)$ 是一致可测的，并且 $$\|F_j(\cdot)\|_{\mathcal{B}_2(\mathcal{H}_j,\mathcal{H})} \in L^2((a,b)), \; \|G_j (\cdot)\|_{\mathcal{B}_2(\mathcal{H},\mathcal{H}_j)} \in L^2((a,b)), \quad j=1,2,$$ 其中 $\mathcal{H}$ 和 $\mathcal{H}_j$ ($j=1,2$) 为复可分 Hilbert 空间。假设 $K(\cdot, \cdot)$ 在 $L^2((a,b);\mathcal{H})$ 中生成一个 Hilbert-Schmidt 算子 $\mathbf{K}$，我们推导了 Jost-Pais 约化理论的类比，成功证明了修正的 Fredholm 行列式 ${\det}_{2, L^2((a,b);\mathcal{H})}(\mathbf{I} - \alpha \mathbf{K})$（$\alpha \in \mathbb{C}$）自然地约化为 Hilbert 空间 $\mathcal{H}$（及 $\mathcal{H} \oplus \mathcal{H}$）中适当的 Fredholm 行列式。文中提供了该理论在具有算子值势的 Schr"odinger 算子中的一些应用。