Navier--Stokes 方程的高频尾部条件与诊断迭代

我们考虑定义在 $\R^3$ 上的三维不可压缩 Navier--Stokes 方程的 Leray 解，其初始数据光滑且快速衰减。分析基于通过截断 $\A_R=\phi(|D|/R)$ 和 $\A^R=I-\A_R$ 进行的低频与高频模态频率分解。将能量不等式与 Bernstein 估计相结合，可对低频分量 $\A_R u$ 实现一致控制。对于高频分量，我们假设一个定量的湍流条件，要求解在 $L^\infty$ 中具有不可忽略的高频尾部（实际上，仅需在 putative 爆破时间附近的终端时间层上施加此条件即可）。在此假设下，我们引入一个针对 $\A^R u$ 的时间局部化诊断 Picard 迭代。利用 Giga--Inui--Matsui 型的一致 $L^\infty$ 估计（配合截断 $\A^R$）以及高频热流衰减，我们证明该迭代是压缩的并收敛到 $\A^R u$，从而在有界性最大时间之前为 $\A^R u$ 提供一致界。因此，湍流区域与有限时间爆破不相容：任何满足湍流条件的 Leray 解都是有界的，从而对所有时间都是光滑的（等价地，它不可能在有限时间内爆破）。