全变差距离的凸松弛层次结构

给定满足 Carleman 条件的 $\mathbb{R}^d$ 上的两个测度 $\mu$ 和 $\nu$，我们提供了一种数值方案，以任意精度逼近 $\mu$ 和 $\nu$ 之间的全变差距离。该方案包括求解一系列（层次结构）凸松弛，其相关的最优值序列收敛于全变差距离，这是 Moment-SOS 层次结构多功能性的又一个例证。事实上，层次结构中的每个松弛都是一个半定规划，其规模随所涉矩的数量而增加。它具有最优解，该解是一对 $2n$ 次伪矩，随着 $n$ 的增长，它们收敛于 $\mu$-$\nu$ 的 Hahn-Jordan 分解的矩。