特征零下双 Burnside 环的幽灵代数

对于有限群 $G$，我们在以 $\scrS_{G\times G}$（即 $G\times G$ 的子群集合）为基的 $\QQ$-向量空间上引入一个乘法。所得的 $\QQ$-代数 $\Atilde$ 可视为双 Burnside 环 $B(G,G)$ 的幽灵代数，其意义在于从 $B(G,G)$ 到 $\Atilde$ 的 mark 同态是一个环同态。我们的方法将 $\QQ B(G,G)$ 解释为一个代数 $eAe$，其中 $A$ 是一个扭幺半群代数，而 $e$ 是 $A$ 中的一个幂等元。代数 $A$ 底层的幺半群同样等于 $\scrS_{G\times G}$，其乘法由关系的复合给出（当将 $G\times G$ 的子群解释为 $G$ 与 $G$ 之间的关系时）。代数 $A$ 与 $\Atilde$ 通过偏序集 $\scrS_{G\times G}$ 上的 Möbius 反演同构。作为一个应用，我们利用 Linckelmann 和 Stolorz 关于有限范畴代数单模参数化的结果，改进了 Bouc 关于 $\QQ B(G,G)$ 单模以及单双集函子参数化的结果。最后，在 $G$ 为 $n$ 阶循环群的情形，我们给出了 $\QQ B(G,G)$ 与若干矩阵环的直积之间的显式同构，这些矩阵环定义在阶为 $k$（其中 $k$ 整除 $n$）的循环群的自同构群的群代数上。