Teichmüller TQFT 的 AJ 猜想的几何量子化视角

我们给出 Teichmüller TQFT 的 AJ 猜想的几何量子化表述，并详细证明 $4_{1}$ 与 $5_2$ 纽结补情形的猜想。该猜想陈述为：能级-$N$ 的 Andersen-Kashaev 不变量 $J^{(\mathrm{b},N)}_{M,K}$ 被非齐次 $\hat{A}$-多项式在适当的 $q$-交换算子处求值所湮灭。后者我们通过在一亏格-$1$ 曲面上的平坦 $\operatorname{SL}(2,\mathbb{C})$-联络的模空间上作几何量子化得到，考虑与经线和纬线相关的 holonomy 函数。该构造依赖于 Teichmüller 空间中的参数 $\sigma$，其方式由 Hitchin-Witten 联络度量，但我们证明所得量子算子是协变常的。它们在 $J^{(\mathrm{b},N)}_{M,K}$ 上的作用随后通过 Hitchin-Witten 联络与 Weil-Gel'Fand-Zak 变换的平凡化来定义。