广义 Liouville 方程与磁稳定性

本工作考虑了平面 $\mathbb{R}^2$ 上的两个相关的非线性与非局部分题族。第一个主要结果利用两个互素复多项式的 Wronskian 行列式，导出了广义 Liouville 方程的一般可积解。第二个主要结果涉及对广义 Ladyzhenskaya-Gagliardo-Nirenberg 插值不等式的应用，其中一个实参数 $\beta$ 被解释为磁自相互作用的强度。研究了该不等式的最优常数和相应的商的极小化子，并证明了对于 $\beta \ge 2$（此时常数等于 $2\pi\beta$），这样的极小化子仅存在于量子化的 $\beta \in 2\mathbb{N}$ 处，对应于 Landau 能级的非线性推广，其密度求解广义 Liouville 方程。后一个问题源于对阿贝尔 Chern-Simons-Higgs 理论中自对偶涡旋孤子的研究，以及任意子（即统计性质介于玻色子与费米子之间的量子粒子）的平均场-Pauli 有效理论。这直接应用于此类任意子气体的 Keller-Lieb-Thirring 稳定性界，该任意子既进行磁自相互作用（矢量非局部排斥），也进行静电相互作用（标量局部/点吸引），从而推广了二维三次非线性 Schrödinger 方程的稳定性理论。