部分吸收介质中相互作用布朗气体的广义Dean-Kawasaki方程

Dean-Kawasaki（DK）方程是关于$N$个过阻尼布朗粒子气体的全局密度$\rho$的随机偏微分方程（SPDE）。在热力学极限$N\rightarrow \infty$且具有弱成对相互作用的情况下，期望${\mathbb E}[\rho]$依分布收敛于McKean-Vlasov（MV）方程的解。在本文中，我们推导了部分吸收一维介质中相互作用布朗气体的广义DK方程。对于在$x=0$处具有完全反射边界的半直线情形，广义DK方程是关于联合全局密度$\rho(x,\ell,t)=N^{-1}\sum_{j=1}^N\delta(x-X_j(t))\delta(\ell-L_j(t))$的SPDE，其中$X_j(t)$和$L_j(t)$分别表示第$j$个粒子的位置和局部时间。假设DK方程具有明确定义的平均场极限，我们推导了具有反射边界的半直线上的MV方程，并分析了Curie-Weiss（二次）相互作用势的稳态解。然后，我们使用基于相遇的方法来发展$x=0$处部分吸收边界的类似理论。每个粒子在其局部时间$L_j(t)$超过随机阈值$\widehat{\ell}_j$时被独立吸收，其概率分布为$\Psi(\ell)=\P[\widehat{\ell}_j>\ell]$。联合全局密度现在对尚未被吸收的粒子集合进行求和，并且期望是关于高斯噪声和随机阈值$\widehat{\ell}_j$取的。还考虑了对有限区间和部分吸收陷阱的扩展。