Whyburn 定理的推广及阿贝尔 C*-包含的周期性

设 $j:Y \to X$ 为紧度量空间间的连续满射。Whyburn 证明了 $j$ 是不可约的（即对任意真闭子集 $F \subsetneq Y$ 有 $j(F) \subsetneq X$）当且仅当 $j$ 是几乎一一的，在如下意义下：$$\overline{\{y \in Y: j^{-1}(j(y)) = y\}} = Y.$$ 在本文中我们证明如下推广：存在唯一的极小闭集 $K \subseteq Y$ 使得 $j(K) = X$ 当且仅当 $$\overline{\{x \in X: card(j^{-1}(x)) = 1\}} = X.$$ 翻译到算子代数的语言，这说的是若 $A \subseteq B$ 是可分阿贝尔 $C^*$-代数的单位包含，则存在唯一的伪期望（Pitts 意义下）当且仅当 Nagy-Reznikoff 的几乎扩张性质成立。更一般地，我们证明（未必可分的）阿贝尔 $C^*$-代数的单位包含有唯一伪期望当且仅当它是周期的（Kwa\'{s}niewski-Meyer 意义下）。