九维二次 APN 置换的进一步研究

近来，Beierle 与 Leander 发现了两个新的九维零星二次 APN 置换。在 EA-等价意义下，我们将这两个置换表示为统一的三变量形式 $C_u \colon (\mathbb{F}_{2^m})^3 \rightarrow (\mathbb{F}_{2^m})^3, (x,y,z) \mapsto (x^3+uy^2z, y^3+uxz^2,z^3+ux^2y)$，其中 $m=3$ 且 $u \in \mathbb{F}_{2^3}\setminus\{0,1\}$，使得两个置换对应于 $u$ 的不同取值。随后我们在更一般情形下分析了 $C_u$ 的差分一致性与非线性度。特别地，对于 $m \geq 3$ 为 3 的倍数且 $u \in \mathbb{F}_{2^m}$ 不是 7 次幂时，我们证明 $C_u$ 的差分一致性上界为 8，且 $C_u$ 的线性度上界为 $8^{1+\lfloor \frac{m}{2} \rfloor}$。基于数值实验，我们猜想当 $m > 3$ 时 $C_u$ 不是 APN。我们还分析了迄今已知的九维二次 APN 置换的 CCZ-等价类，并推导了其 EA-等价类数目的下界。我们进一步表明，这两个零星 APN 置换与奇数维且被 3 整除的 Gold APN 置换有一个有趣的相似性，即通过对原置换施加 EA 变换与求逆，可得到一个与这些零星 APN 置换及其逆 EA-不等价的置换。