Selberg关联积分的Fuchs型矩阵微分方程

我们将关于Selberg密度的平均值 $\prod_{l=1}^N|x - t_l|^{\alpha - 1}$（附加约束 $t_l \in [0,x]$（$l=1,...,q$）且 $t_l \in [x,1]$（$l=q+1,...,N$））表征为某个特定Fuchs型矩阵微分方程的解基。通过利用Dotsenko-Fateev积分，计算了从Frobenius型幂级数基到该基的联络矩阵的显式形式，从而使我们能够显式计算这些平均值的幂级数展开系数。由此，我们能够计算 $t_j$（$j=1,...,N$）的边际分布的幂级数。在 $q=0$ 且 $\alpha < 1$ 的情况下，我们计算了 $x \to 0$ 渐近展开的显式首阶项，这对研究一种称为奇异性主导的强涨落效应具有重要意义。在 $q=0$ 且 $\alpha \in \mathbb Z^+$ 且去掉绝对值的情况下，该平均值是一个多项式，我们证明了其零点具有高度结构化的性质。