关于 Selberg 积分的 Dotsenko-Fateev 复对偶及其扩展

Selberg 积分有一个如下形式的对偶（“Dotsenko--Fateev 积分”）。我们将 Selberg 积分被积函数 $\prod |x_k|^{\sigma-1}\,|1-x_k|^{\tau-1} \prod|x_k-x_l|^{2\theta}$ 中的实变量 $x_k$ 替换为复变量 $z_k$，将在一个立方体上的积分替换为在整个复空间 $\mathbb{C}^n$ 上的积分。根据 Dotsenko、Fateev 和 Aomoto 的研究，这样的积分是 Gamma 函数的乘积。我们定义并计算了空间 $\mathbb{C}^m\times \mathbb{C}^{m+1}\times \dots \times \mathbb{C}^n$ 上的一族 beta 积分，当 $m=n$ 时，该族积分给出了上述 Selberg 积分的复对偶（带有三个额外的整数参数）。