有界变差函数的 Friedrichs-Maz'ya 不等式

这篇短注的目的是给出 Maz'ya 改进 Friedrichs 不等式的一个不等式的另一种证明，该证明适用于任意区域中的有界变差函数。此证明的一个显著特点是，若假定有界变差函数理论的基本背景，则它相当初等。尽管如此，它允许将此基本不等式的所有先前已知版本推广到完全一般的版本。事实上，此处给出的不等式在多个方面是最优的。正如先前证明中所观察到的，关键步骤是给出这样的条件：在有界开集上定义的有界变差函数延拓到外部为零时，在整个空间上具有有界变差。我们将此类条件推至其极限。事实上，若开集具有 $\sigma$-有限表面测度的边界，我们给出充要条件；若开集完全任意，我们给出充分条件。通过反例我们表明该一般充分条件是最紧的。