局部Galois符号的更精细Tate对偶定理

设$K$为$\mathbb{Q}_p$的有限扩张。设$A$、$B$为$K$上具良好约化的阿贝尔簇。对任意整数$m\geq 1$，我们考虑Galois符号$K(K;A,B)/m\rightarrow H^2(K,A[m]\otimes B[m])$，其中$K(K;A,B)$是附于$A,B$的Somekawa $K$-群。该映射是Bloch-Kato猜想的Galois符号$K_2^M(K)/m\rightarrow H^2(K,\mu_m^{\otimes 2})$的推广，其中$K_2^M(K)$是$K$的Milnor $K$-群。在本文中，我们通过考察Tate对偶配对$H^{2}(K,A[m]\otimes B[m])\times\mathrm{Hom}_{G_{K}}(A[m],B^{\star}[m])\rightarrow\mathbb{Z}/m,$（其中$B^\star$是$B$的对偶阿贝尔簇）来给出该广义Galois符号的像的几何描述。在此完美配对下，我们根据整$p$-adic Hodge理论的一个对象计算了Galois符号像的精确零化子。