域的阿贝尔 - 中心伽罗瓦群 I：形式描述

设 $K$ 为一个域，其特征与固定整数 $n$ 互素，且 $\mu_n \subset K$，选取 $\omega \in \mu_n$ 为一个本原 $n$ 次单位根。记 $K$ 的绝对伽罗瓦群为 $\operatorname{Gal}(K)$，$\operatorname{Gal}(K)$ 的模 $n$ 中心降列（central-descending series）为 $\operatorname{Gal}(K)^{(i)}$。回顾 Kummer 理论，结合我们对 $\omega$ 的选择，可在 $\operatorname{Gal}(K)/\operatorname{Gal}(K)^{(2)}$ 与 $\operatorname{Hom}(K^\times,\mathbb{Z}/n)$ 之间提供一个函子同构。类似于 Kummer 理论，本文利用 Merkurjev-Suslin 定理构造了一个连续、函子且显式的嵌入 $\operatorname{Gal}(K)^{(2)}/\operatorname{Gal}(K)^{(3)} \hookrightarrow \operatorname{Fun}(K\smallsetminus\{0,1\},(\mathbb Z/n)^2)$，其中 $\operatorname{Fun}(K\smallsetminus\{0,1\},(\mathbb Z/n)^2)$ 表示 $K\smallsetminus\{0,1\}$ 上取值为 $(\mathbb Z/n)^2$ 的函数群。我们显式确定了在此嵌入下，$\operatorname{Gal}(K)$ 元素的交换子和 $n$ 次幂的像所对应的函数。随后，我们应用该理论证明了关于阿贝尔 - 中心伽罗瓦群中元素之间关系的一些新结果。