牛顿涡旋方程的一种快速正则化

我们考虑形如 $u_t = \nabla \cdot ( \gamma(u) \nabla \mathrm{N}(u))$ 的方程，其中 $\mathrm{N}$ 是牛顿势（拉普拉斯算子的逆）定义于全空间 $\mathbb R^d$ 上，$\gamma(u)$ 为迁移率。对于线性迁移率 $\gamma(u)=u$，该方程及其某些变体已被提出作为超导或超流的模型。在此情形下，理论导出具有紧空间支集性质的有界弱解的唯一性，特别地，存在一种特殊的盘状涡旋解，其在空间上强度恒定 $u=c_1t^{-1}$，支集于一个随时间以 $c_2t^{1/d}$ 扩散的球内，从而呈现出不连续的前沿。本文提出具有次线性迁移率 $\gamma(u)=u^\alpha$（其中 $0<\alpha<1$）的模型，并证明非负解在各处恢复正性，且于无穷远处呈现重尾。该模型在许多方面充当了前述模型的正则化。特别地，我们发现先前涡旋的对应物是一个显式的自相似解，其随时间衰减如 $u=O(t^{-1/\alpha})$，空间尾部大小为 $u=O(|x|^{- d/(1-\alpha)})$。我们将分析限于径向解，并借助特征线法构造解。我们引入质量函数，它满足一个不寻常的 Burger 方程变体，并在分析中起重要作用。我们证明了在粘性解意义下的适定性。我们还构造了收敛的数值有限差分格式。