具有对数超临界速度的二维 Boussinesq 方程

本文研究了一个方程组解的全局（时间）正则性，该方程组推广了二维 Boussinesq-Navier-Stokes 方程的涡度形式。该系统中的速度 $u$ 通过关系 $u=\nabla^\perp \psi$ 和 $\Delta \psi = \Lambda^\sigma (\log(I-\Delta))^\gamma \omega$ 与涡度 $\omega$ 相关联，当 $\sigma=\gamma=0$ 时退化为标准的速度-涡度关系。当 $\sigma>0$ 或 $\gamma>0$ 时，速度 $u$ 更加奇异。由 $\nabla\times v =\omega$ 确定的“准速度” $v$ 满足一个具有非常特殊结构的方程。本文建立了当 $\sigma=0$ 且 $\gamma\ge 0$ 时解的全局正则性和唯一性。此外，证明了在若干泛函框架下（例如在适当范围内的 $\sigma>0$ 时的 $L^2$ 空间中），涡度 $\omega$ 是全局有界的。